在时间序列中，最简单的两种算法就是移动平均和指数平滑。

本篇先介绍移动平均。

基本原理

移动平均（Moving Average），就是使用前N期的历史数据进行序列的预测, 即把前N期的历史数据的平均值作为下一期的预测值。

移动平均和指数平滑的实质是一种平滑技术，其基本原理，是通过消除时间序列中的周期变动和不规则波动的影响，以便呈现出时间序列的总体发展趋势（即趋势线），然后根据趋势线分析序列的长期趋势。

比如，当产品的需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能够有效地消除预测中的随机波动，非常有用。

移动平均的种类

常见的移动平均法，可以有如下几种形式：

一次移动平均（Simple Moving Average，SMA）。

二次移动平均（Double Moving Average，DMA）。

加权移动平均（Weighted Moving Average，WMA）。

移动平均比率法，适用于季节性变化的序列。

下面先介绍一次移动平均。

一次移动平均

一次移动平均，也叫简单移动平均，计算前N期的算术平均值作为下一时期的预测值，即前几期数据的权重都相等（均为1/n）。

计算公式

一次移动平均的计算公式如下：

即，预测值等于前N期数据的平均值。

如下图所示，假定已经收集到前5个月的产品销量，现要预测第6个月的产品销量。假定取期数N=3，则计算前3期的平均值作为第6个序列值的预测值。

适用场景

因此，简单移动平均只能适用于呈水平趋势（有的书上叫无趋势）的序列。当序列的变化不大（即方差比较小），没有明显的升降趋势和循环变动，就可以使用一次移动平均。

如果事物呈现某种上升或下降的趋势，不宜采用这种方法（参考移动平均的缺点）。

一次移动平均一般只能够预测下一期的序列值，更多期的预测将会产生更大的误差。

另外，移动平均经常用来修匀（或平滑）序列的波动。如下图所示，当使用移动平均后，序列就变得更加平滑，期数N越大，平滑效果就越好。当对序列进行平滑后，就容易看出序列的整体变化趋势，方便进一步采用其它合适的方法来拟合序列的长期趋势线。

期数N的选择

在移动平均中，关键在于期数N的选择。不同的期数N，其预测效果也不一样。

期数大小的影响

一般情况，N越大，则平滑效果越好，但会对序列的变动不敏感；N越小，越能够反映序列的波动，但无法有效呈现长期的变化趋势。所以，期数N的选择要适当。

当N为奇数时，只需要一次移动平均，就可以作为中间一期的趋势代表值。如下所示，当N=2k+1时，移动平均后的序列值就能够对齐时期K。所以，在大多数应用中，我们都选取N为奇数进行移动平均。

移正平均

但如果N为偶数的话，则移动平均值代表的是这偶数项的中间位置的水平，无法对正到具体的某一时期。如下所示，MA（4）的前两项分别对应的时期数为2.5和3.5，要对齐时期数，则必须要进行再次移动平均MA（2），就可以对齐到时期数3。这样经过两次移动平均，才能使平均值对正到某一时期，也叫做中心化的移动平均（Centered MA），有时简称移正平均。

所以，如果序列存在季节性变化，而且季节周期为偶数（比如一年4个季度和12个月份的周期），此时在移动平均时需要移正平均。即当序列包含季节变动时，则期数N应该与季节变动周期一致，才能消除其季节波动；

 期数选择原则

在实际的应用中，要选择最合适的期数N，我们经常用平均误差率MAPE来作为选取最佳参数N的准则，即使得MAPE最小的N值，就是最佳的期数取值。

详情可参见实战小节。

操作实战

如下，某销售公司收集了每周的平板电脑的销售量数据，请预测一下第18周的销量。

操作步骤如下：

取N=2，3，4，分别在D、E、F列计算每期的预测值。

计算MA（2）值。在D7单元格输入公式”=Average(B5:B6)”，公式向下拉。

计算MA（3）值。在E8单元格输入公式”=Average(B5:B7)”，公式向下拉。

计算MA（4）值。在F9单元格输入公式“=Average(B5:B8)”，公式向下拉。

计算每期的误差率。在H7单元格输入“=abs(D7-B7)/B7”，并设置为百分比的数字格式；其余I、J列类似操作。

计算平均误差率MAPE。在H2单元格输入“=Average(H7:H21)”，其余类似。

判断各项的MAPE的大小，显然有〖MAPE〗_2<〖MAPE〗_3<〖MAPE〗_4，应该选择N=2为最佳期数值。

可以预测，第18周的平板电脑的销量为60.50（单位：K）。

预测值的准确度或误差率约为MAPE=23.63%。

移动平均的缺点

移动平均最大的缺点是滞后性，所以一般预测不太准确。

缺点一：反转滞后性

即当原有序列发生反转时，但移动平均趋势仍然不变。

下图画出平板电脑的真实销量和移动平均值的折线图，可以看得出移动平均的滞后性。如下所示，在第7周的时候，真实的销量已经开始反转下降，但预测值却仍然在上升。

图 4一次移动平均的反转滞后性

缺点二：滞后偏差

即，如果序列呈单调上升或下降时，一次移动平均的预测值会产生明显的滞后偏差，即预测值比实际值偏低（或偏高）。

图 5一次移动平均的滞后偏差

所以，如果事物呈现某种明显地上升或下降的趋势，不宜采用一次移动平均。

为了解决滞后偏差的问题，可以使用二次移动平均。

作者简介：

傅一航，大数据专家。

专注于大数据分析、大数据挖掘等应用技术，及大数据系统解决方案。致力于将大数据技术应用于政府、通信、金融、航空、电商、互联网等领域。

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