简单地说，相关分析，就是衡量两个数值型变量的相关性，以及相关程度的大小。

基本知识

散点图

判断两个变量是否存在线性相关关系，一种最简单的方法就是可视化。

相关分析中最合适的图形就是散点图。在下表中，将腰围、脂肪比重和体重用散点图的方式画出来，则如下图所示。

显然，随着腰围的增加，体重也在增加。说明，腰围和体重是存在相关关系的，而且应该是正相关。同样，脂肪比重与体重也是正相关的。

可视化的优点是：直观，但其缺点是：无法准确度量。

比如腰围和脂肪比重，对体重的影响程度到底有多大？或者说，这两个因素中哪个因素对体重的影响会更大？散点图是无法给出答案的。

所以，在相关分析时，我们将引入一个新的数据指标（即相关系数），专门用于衡量两个变量的线性相关程度。

相关系数

相关系数（Correlation Coefficient），是专门用来衡量两个变量之间的线性相关程度的指标，经常用字母r来表示相关系数。

相关系数，是以数值的方式来精确地反映两个变量之间线性相关的强弱程度的。

最常用的相关系数，是皮尔逊（Pearson）相关系数，又称积差相关系数，公式如下。

相关系数的特征如下：

相关系数的取值范围是在[-1，1]之间。

|r|越趋于1，表示线性相关越强；|r|越趋于0，表示线性相关越弱。

若|r|=1，为完全线性相关（相当于两变量有函数关系）

r=1，为完全正线性相关。

r=-1，为完全负线性相关。

若r > 0，表示两个变量存在正相关。

若r < 0，表示两个变量存在负相关。

若r = 0，表示两个变量不存在线性相关关系。

其实，并不是说一定要r=0时才表示两变量不存在线性相关。在实际的应用中，因为r表示的是相关程度，所以我们往往会将r的取值分成几个区间，来表示不同的相关程度（如下图所示）。

显著性检验

由于上述相关系数是根据样本数据计算出来的，所以上述相关系数又称为样本相关系数（用r来表示）。

若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为ρ。

但由于存在抽样的随机性和样本较少等原因，通常样本相关系数不能直接用来说明两总体（即两变量）是否具有显著的线性相关关系，因此还必须进行显著性检验。

相关分析的显著性检验，经常使用假设检验的方式对总体的显著性进行推断。

显著性检验的步骤如下：

假设：两个变量无显著性线性关系，即两个变量存在零相关。

构建新的统计量t，如下所示

在变量X和Y服从正态分布时，该t统计量服从自由度为n-2的t分布。

计算统计量t，并查询t分布对应的概率P值。

最后判断：如果P<α（α表示显著性水平，一般取0.05），表示两变量存在显著的线性相关关系；否则，不存在显著的线性相关关系。

相关分析类别

相关分析，常用的方法类别有：简单相关分析、偏相关分析、距离相关分析等。

简单相关分析，是直接计算两个变量的相关程度。

偏相关分析，是在排除某个因素后，两个变量的相关程度。

距离相关分析，是通过两个变量之间的距离来评估其相似性（这个少用）。

注：在没有特别说明的情况下，下文所说的相关分析，指的是简单相关分析。

傅一航，大数据专家。

主讲《大数据变革与商业模式创新》《大数据与商业智能》《大数据精准营销》《大数据分析与挖掘》《大数据建模》等课程。

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